光速度は不変ではなく、V慣性系に於ける光の速度は、(C−Vcosθ)キロメートル/秒と観測されます。
静止者が見ると、光と観測者Aとの相対的位置関係は、
t'=t
x'=x−Vｔ
y'=y
z'=z
C'=√(C^2+V^2−2CV*cosθ)(第二余弦定理より)
と表されます。
※ (x,y,z)=(Ct*cosθ,Ct*sinθ,0)の平面で考えると、
√{(x’^2+y’^2+z’^2)=√(Ct*cosθ−Vｔ)^2+ (Ct*sinθ)^2+0^2}=t*√(C^2+V^2−2CV*cosθ)=C’t
∴C’=√(C^2+V^2−2CV*cosθ)
しかし、V慣性系では時間・空間・光の速度はCATBIRD変換により、
t’=t/ √（1−(V^2/C^2)）
x’=(x−Vｔ)/√（1−(V^2/C^2))
y’= y
z’= z
C’=(C−V*cosθ)
と変換されます。
V慣性系の時間は、
t’=t/ √（1−(V^2/C^2)）
と変換され、
空間は、(x,y,z)=(Ct*cosθ,Ct*sinθ,0)の平面で考えると、
√{(Ct*cosθ−Vt)^2+ C^2*t^2*sinθ^2+0^2}の長さが、
√{*1+C^2*t^2* sinθ^2+0^2}
と変換されます。
では、V慣性系の観測者Aにとっての光の主観的相対速度(C−V*cosθ)キロメートル/秒を、静止者にとっての客観的相対速度に直て見ましょう。
V慣性系の1秒は、静止者の1/ √（1−(V^2/C^2)）秒なので、
(C−V*cosθ)*{ 1/ √（1−(V^2/C^2)）}=√(C^2−2CV*cosθ+V^2*cosθ^2) *√{ C^2/(C^2−V^2)}}=C*√{(C^2*(cosθ^2+sinθ^2)−2CV*cosθ+V^2−V^2+V^2*(1−sinθ^2))/(C^2−V^2)}= C*√{(C^2*cosθ^2−2CV*cosθ+V^2+ C^2*sinθ^2−V^2*sinθ^2)/(C^2−V^2)}= C*√{*2+C^2* sinθ^2+0^2}=Ⅰ
V慣性系のⅡ√{*3+C^2*t^2* sinθ^2+0^2}キロメートルは、静止者のⅢ√{(Ct*cosθ−Vt)^2+ C^2*t^2*sinθ^2+0^2}キロメートルなので、
Ⅰ×Ⅲ÷Ⅱ=√{(C*cosθ−V)^2+ C^2*sinθ^2}=√{C^2*cosθ^2−2CV*cosθ+V^2+ C^2*sinθ^2}=√(C^2+V^2−2CV*cosθ)キロメートル/秒となり、静止者にとっての客観的相対速度となります。
マイケルソンとモーレーは、鏡を使って、光を地球の進行方向(横方向)と上下左右(縦方向)に往復させ、同時に戻ってくるか否か実験しました。便宜上、装置の片道の距離をCキロメートルと仮定します。地球の速度をV㎞/秒とします。
上記の説明の通り、V慣性系の観測者に光は(C−V*cosθ)キロメートル/秒と計れても、静止者から見た客観的相対速度は、√(C^2+V^2−2CV*cosθ)キロメートル/秒です。従って、
横方向の往路は、cosθ=1なので、
C/(C−V)秒
復路は、cosθ=−1なので、
C/(C+V)秒
合計で、
C/(C−V)+ C/(C+V)=2C^2/(C^2−V^2)=2/(1−V^2/C^2)秒
掛かります。
縦方向の往路は、cosθ=V/Cなので、
C/√(C^2−V^2)秒
復路も同じ
C/√(C^2−V^2)秒
合計で、
2C/√(C^2−V^2)=2/√(1−V^2/C^2)秒
掛かります。双方の光が同時に戻ることは無いように思えます。
しかし、マイケルソンとモーレーの実験より、V慣性系の物質は
横方向(進行方向)=(1−V^2/C^2)
縦方向(上下左右)=√(1−V^2/C^2)
と収縮することが分かります。
従って、横方向は
{2/(1−V^2/C^2)}* (1−V^2/C^2)=2秒
縦方向は、
{2/√(1−V^2/C^2)}* √(1−V^2/C^2)=2秒
で往復し、光は同時に戻って来れたのです。
